Uvod
=======

Haksli i Hodžkin su 1957. godine razvili biofizički model koji je bio osnova za sva naredna istraživanja u ovoj oblasti :cite:t:`huxley1957muscle`. Priroda Hakslijevog modela se oslanja na dinamiku poprečnih mostova, zbog čega je sama teorija i nazvana teorija poprečnih mostova :cite:t:`huxley1957muscle`. Detalje vezane za anatomiju i fiziologiju mišića ne možemo izlagati u ovom tipu literature, već se čitalac upućuje na :cite:t:`svivcevic2020vivseskalni`.

Haksli je razmatrao polovinu sarkomere i smatrao je da su glave miozina za miozinski filament pričvršćene pomoću elastičnih veza. Na :numref:`huxley1` imamo šematsku reprezentaciju modela, na kojoj se može uočiti da je debeli miozinski filament fiksiran u prostoru za M-liniju. Prilikom stimulacije mišića očekivano je da se miozinske glave vežu na najbliže slobodno mesto na aktinu, usled čega dolazi do formiranja elastičnih veza u vidu poprečnih mostova. U tom trenutku dolazi do generisanja aktivne mišićne sile. 

.. _huxley1:

.. figure:: huxley1.png
    :width: 80%

    Hakslijev modela klizajućih filamenata

Sila se tada prenosi na aktinski filament koji se tom prilikom kreće ka Z-liniji. Proces formiranja poprečnih mostova se ponavlja usled stalnog relativnog klizanja
aktinskog filamenta duž miozinskog i zavisi od položaja samih miozinskih glava. Tom prilikom, poprečni mostovi trpe istezanja i skraćivanja. Zbog stalnog relativnog
klizanja filamenata, Hakslijeva teorija se naziva i Teorijom klizajućih filamenata :cite:t:`huxley1957muscle`. 

U slučaju izduženja mišića, aktinski filament klizi udesno, duž miozinskog filamenta, koji je fiksiran za M-liniju. Pomeranje glave miozina od njene uspravne pozicije, u pravcu M-linije ili Z-linije do aktivnog mesta *A* na aktinskom filamentu, označeno je sa :math:`x` i tumači se kao dužina poprečnog mosta. U jednom trenutku, miozinska glava može biti vezana samo za jedno aktivno mesto aktina, pri čemu je pomeranje ograničeno maksimalnim pomeranjem glave miozina, izazvanim termičkim fluktuacijama, :math:`h` , tako da važi :math:`0<x<h`.Ukoliko dužina poprečnog mosta postane veća od :math:`h` , dolazi do raskidanja ove veze između filamenata. U svakom trenutku je moguće identifikovati da li je neka miozinska glava zakačena ili ne, i da li tom prilikom formira poprečni most dužine :math:`x`. Verovatnoća da slučajno izabrana miozinska glava u trenutku :math:`t` formira poprečni most dužine :math:`x` iz domena :math:`\Omega` , označena je sa :math:`n(x,t)`. 

Verovatnoća :math:`n(x,t)` se može tumačiti i kao udeo broja miozinskih glava koje su u trenutku :math:`t` zakačene na rastojanju :math:`x` u odnosu na ukupan broj miozinskih glava. Ovaj broj zavisi od brzine uspostavljanja i raskidanja poprečnih mostova, tako da se kontinuiran proces stvaranja i raskidanja poprečnih mostova može formulisati jednačinom:

.. math:: 
    :label: eq:huxley1

    \frac{dn(x,t)}{dt} = \left[  1-n(x,t) \right] f(x) - n(x,t) g(x),

gde su :math:`f(x)` i :math:`g(x)` redom stope uspostavljanja i raskidanja veze između miozina i aktina u jedinici vremena, koje zavise od rastojanja :math:`x`, kao na :numref:`fg`. Verovatnoća uspostavljanja veze je predstavljena proizvodom udela onih miozinskih glava koje još uvek nisu zakačene, :math:`1-n(x,t)`, i stope uspostavljanja veze, :math:`f(x)`. S druge strane, verovatnoća da se uspostavljena veza između aktina i miozina prekine je data kao :math:`n(x,t) g(x)`. 

.. _fg:

.. figure:: fg.png
    :width: 50%

    Stope uspostavljanja veze, :math:`f`, (narandžasta linija) i raskidanja veze, :math:`g`, (plava linija) između miozina i aktina

Hakslijeva teorija kinetike poprečnih mostova se može izraziti korišćenjem parcijalne diferencijalne jednačine nad domenom :math:`\Omega`:

.. math:: 
    \frac{\partial n}{\partial t} (x,t) - v \frac{\partial n}{\partial x} = \mathcal{N} \left( n(x,t), x\right), \qquad \forall x \in \Omega,

gde je :math:`v= -dx/dt` brzina klizanja filamenta aktina u odnosu na filament miozina (pozitivna pri kontrakciji), a

.. math:: 
    \mathcal{N} \left( n(x,t), x\right) = \left[  1-n(x,t) \right] f(x) - n(x,t) g(x)

predstavlja brzinu promene stanja poprečnih mostova.

U cilju što realističnijeg opisa ponašanja mišića tokom izduženja, Zahalak je uveo određene modifikacije originalnog Hakslijevog modela. Uveo je minimalne promene u definiciji stopa uspostavljanja i raskidanja veza između miozina i aktina, tako da je pri skraćivanju mišića sve ostalo nepromenjeno, dok je pri izduženju omogućio veću stopu otkačinjanja. Ovo je praktično realizovano tako što je uveden Zahalakov faktor, :math:`f_{Zah}`, u slučaju kada je dužina poprečnog mosta :math:`x` veća od :math:`h`:

.. math::
    :label: eq:fg

    x<0 \quad : \quad f(x)=0; \, g(x)=g_2; \\ 
    0 \le x \le h \quad : \quad f(x)=f_1 x/h; \, g(x)=g_1 x/h; \\
    x>h \quad : \quad f(x)=0; \, g(x)=f_{Zah} \, g_1 x / h 

Može se uočiti da je u oblasti :math:`x<0` definisana visoka vrednost stope otkačinjanja, :math:`g(x)=g_2` , kako bi se poprečni mostovi koji su dospeli u ovu zonu brzo prekinuli. Postoji izvesna stopa otkačinjanja i u oblasti :math:`0<x<h`, ali je niska u poređenju sa negativnom oblašću. 

Nakon završene obuke neuronske mreže, ona se može koristiti kao zamena za **metod karakteristika** objašnjen u :cite:t:`svivcevic2020vivseskalni`. Ovde ćemo se zaustaviti sa objašnjavanjem matematičkog modela, a čitaoca koji se interesuje za izučavanje ove oblasti uputiti na :cite:t:`svivcevic2020vivseskalni`.