.. _stap_inverzni:

Jednodimenzioni inverzni problem
===================================

Postavka inverznog problema je potpuno ista kao i u prethodnom poglavlju :ref:`stap`, tj. opisana je :numref:`fdheat`, jednačinom :math:numref:`eq:toplota1` i graničnim uslovima :math:numref:`eq:granicni1`. Međutim, ovoga puta nam parametar problema :math:`\alpha` na početku nije poznat i pokušaćemo da ga dobijemo uz pomoć metoda obučavanja propagacijom unazad. Naravno, čim smo uveli novu nepoznatu, moramo da uvedemo i novi granični uslov. Recimo, možemo da postavimo da je u jednoj tački u nekom vremenskom trenutku, temperatura :math:`u` odgovarala nekoj numeričkoj vrednosti koja se poklapa sa analitičkim rešenjem :math:numref:`eq:analiticko1`. Recimo, postavimo temperaturu na sredini štapa u :math:`x=0,5` u trenutku :math:`t=0,05` na:

.. math:: 
    u(x=0,5, t=0,05) = 0,8623931,

i pokušajmo da rešimo problem postavljajući granične uslove na sledeći način:

.. code-block:: python
    :caption: Pronalaženje nepoznatog parametra :math:`\alpha`
    :linenos:

    x = sn.Variable('x')
    t = sn.Variable('t')
    u = sn.Functional('u', [x,t], 3*[20], 'tanh')
    alpha = sn.Parameter(0.5, inputs=[x,t], name="alpha")

    L1 = diff(u, t) - alpha * diff(u, x, order=2)

    TOL = 0.011
    TOLT= 0.0011
    C1 = (1-sign(t - TOLT)) * (u - sin(pi*x))
    C2 = (1-sign(x - (0+TOL))) * (u)
    C3 = (1+sign(x - (1-TOL))) * (u)
    C4 = (1 + sign(t-0.049)) * (1 - sign(t-0.051)) * (1 + sign(x-0.49)) * (1 - sign(x-0.51)) * (u-0.8623931)

    m = sn.SciModel([x, t], [L1, C1, C2, C3, C4], 'mse', 'Adam')

    x_data, t_data = np.meshgrid(
        np.linspace(0, 1, 101), 
        np.linspace(0, 0.1, 101)
    )

    h = m.train([x_data, t_data], 5*['zero'], learning_rate=0.002, batch_size=512, epochs=1200, 
        adaptive_weights={'method':'NTK', 'freq':100})

    # Test
    nx, nt = 20, 10
    x_test, t_test = np.meshgrid(
        np.linspace(0.01, 0.99, nx+1), 
        np.linspace(0.01, 0.1, nt+1)
    )
    u_pred = u.eval(m, [x_test, t_test])

    print(alpha.value)

Očigledno je da je kod gotovo isti kao prethodni u kome se rešava direktni problem, jer je i metodologija za rešavanje direktnih i inverznih problema kod NMPFZ identična. Jedina razlika je u postavci. Linija 4 postavlja :math:`\alpha` kao nepoznati parametar i daje mu početnu vrednost. U liniji 13 se postavlja dodatni granični uslov u tački ``u(x=0.4,t=0.05)``, koji će postati još jedna komponenta kompozitne funkcije gubitka koja se formira u liniji 15. Vrednost nepoznatog parametra se štampa u poslednjoj liniji i u našem testu iznosi oko 0,308, što je dovoljno blisko realnoj vrednosti od 0,3. Potvrda zadovoljavajućeg rešenja inverznog problema prikazana je i grafički na :numref:`heat-inv1`. 

.. _heat-inv1:

.. figure:: heat-inv.png
    :width: 80%

    Polje temperature duž štapa u trenutku :math:`t=0,1` dobijeno rešavanjem inverznog problema